gnuplotで日本語を扱うとなぜ文字化け、トーフ化するのか。
crontabでgnuplotの設定ファイルを別にしてシェルファイルの外部に書いたら文字化けは解消しました。一日おきのデータは処理できました。

なぜ今回できないのか。

動作としては、apacheからPHPファイルを呼び出し、PHPからシェルファイルを呼び出し、シェルファイルからgnuplotの設定ファイル.gnuを呼び出しています。
最大の違いは、動作をapacheのユーザー？、www-dataが行っていることです。

sudo権限は与えたので、シェルの中でsudoすると動作できています。
シェルスクリプトの中でsudo gnuplotしても変わらず、でした。
さらに、直接手打ちしてもトーフのままでした。

$ sh make-graph-monthly.sh 201912

もうわかりません。で、こんな風にしました。

はい。英語表記です。はい。残念でたまりません。
小４・５年では基本的にひと月分のデータは使わないと思うので、いいことにします。
なんかくやしい。別のプロットソフト使うという手もあるけど。